x^2-13x+42=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

x を解く

$$x=6$$

$$x=7$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) を使用して x^{2}-13x+42 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-13 ab=42$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 42 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

解は和が -13 になる組み合わせです。

$$a=-7 b=-6$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(x+a\right)\left(x+b\right) を書き換えます。

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

方程式の解を求めるには、x-7=0 と x-6=0 を解きます。

$$x=7 x=6$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を x^{2}+ax+bx+42 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 42 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

解は和が -13 になる組み合わせです。

$$a=-7 b=-6$$

x^{2}-13x+42 を \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの -6 をくくり出します。

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-7 を除外します。

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

方程式の解を求めるには、x-7=0 と x-6=0 を解きます。

$$x=7 x=6$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}-13x+42=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -13 を代入し、c に 42 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

-4 と 42 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

169 を -168 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

1 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 の反数は 13 です。

$$x=\frac{13±1}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{13±1}{2} の解を求めます。 13 を 1 に加算します。

$$x=\frac{14}{2}$$

14 を 2 で除算します。

$$x=7$$

± が負の時の方程式 x=\frac{13±1}{2} の解を求めます。 13 から 1 を減算します。

$$x=\frac{12}{2}$$

12 を 2 で除算します。

$$x=6$$

方程式が解けました。

$$x=7 x=6$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}-13x+42=0$$

方程式の両辺から 42 を減算します。

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

それ自体から 42 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}-13x=-42$$

-13 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{13}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{13}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

-42 を \frac{169}{4} に加算します。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

因数 x^{2}-13x+\frac{169}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

方程式の両辺に \frac{13}{2} を加算します。

$$x=7 x=6$$