x^2-11x+28=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

x を解く

$$x=4$$

$$x=7$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) を使用して x^{2}-11x+28 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-11 ab=28$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 28 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

解は和が -11 になる組み合わせです。

$$a=-7 b=-4$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(x+a\right)\left(x+b\right) を書き換えます。

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

方程式の解を求めるには、x-7=0 と x-4=0 を解きます。

$$x=7 x=4$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を x^{2}+ax+bx+28 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 28 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

解は和が -11 になる組み合わせです。

$$a=-7 b=-4$$

x^{2}-11x+28 を \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの -4 をくくり出します。

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-7 を除外します。

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

方程式の解を求めるには、x-7=0 と x-4=0 を解きます。

$$x=7 x=4$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}-11x+28=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -11 を代入し、c に 28 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

-11 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

-4 と 28 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

121 を -112 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

-11 の反数は 11 です。

$$x=\frac{11±3}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{11±3}{2} の解を求めます。 11 を 3 に加算します。

$$x=\frac{14}{2}$$

14 を 2 で除算します。

$$x=7$$

± が負の時の方程式 x=\frac{11±3}{2} の解を求めます。 11 から 3 を減算します。

$$x=\frac{8}{2}$$

8 を 2 で除算します。

$$x=4$$

方程式が解けました。

$$x=7 x=4$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}-11x+28=0$$

方程式の両辺から 28 を減算します。

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

それ自体から 28 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}-11x=-28$$

-11 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{11}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{11}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

-28 を \frac{121}{4} に加算します。

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

因数x^{2}-11x+\frac{121}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

方程式の両辺に \frac{11}{2} を加算します。

$$x=7 x=4$$