x^2+7x-78=42 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

x を解く

$$x=-15$$

$$x=8$$

因数分解を使用する手順

両辺から 42 を減算します。

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

-78 から 42 を減算して -120 を求めます。

$$x^{2}+7x-120=0$$

方程式を解くには、公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) を使用して x^{2}+7x-120 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=7 ab=-120$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -120 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

解は和が 7 になる組み合わせです。

$$a=-8 b=15$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(x+a\right)\left(x+b\right) を書き換えます。

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

方程式の解を求めるには、x-8=0 と x+15=0 を解きます。

$$x=8 x=-15$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 42 を減算します。

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

-78 から 42 を減算して -120 を求めます。

$$x^{2}+7x-120=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を x^{2}+ax+bx-120 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -120 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

解は和が 7 になる組み合わせです。

$$a=-8 b=15$$

x^{2}+7x-120 を \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 15 をくくり出します。

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-8 を除外します。

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

方程式の解を求めるには、x-8=0 と x+15=0 を解きます。

$$x=8 x=-15$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}+7x-78=42$$

方程式の両辺から 42 を減算します。

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

それ自体から 42 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

-78 から 42 を減算します。

$$x^{2}+7x-120=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に 7 を代入し、c に -120 を代入します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

7 を 2 乗します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

-4 と -120 を乗算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

49 を 480 に加算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

529 の平方根をとります。

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-7±23}{2} の解を求めます。 -7 を 23 に加算します。

$$x=\frac{16}{2}$$

16 を 2 で除算します。

$$x=8$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-7±23}{2} の解を求めます。 -7 から 23 を減算します。

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 を 2 で除算します。

$$x=-15$$

方程式が解けました。

$$x=8 x=-15$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}+7x-78=42$$

方程式の両辺に 78 を加算します。

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

それ自体から -78 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

42 から -78 を減算します。

$$x^{2}+7x=120$$

7 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{7}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{7}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

\frac{7}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

120 を \frac{49}{4} に加算します。

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

因数x^{2}+7x+\frac{49}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

方程式の両辺から \frac{7}{2} を減算します。

$$x=8 x=-15$$