t^2-t-240=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$t ^ { 2 } - t - 240 = 0$$

t を解く

$$t=-15$$

$$t=16$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) を使用して t^{2}-t-240 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-1 ab=-240$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -240 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

解は和が -1 になる組み合わせです。

$$a=-16 b=15$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(t+a\right)\left(t+b\right) を書き換えます。

$$\left(t-16\right)\left(t+15\right)$$

方程式の解を求めるには、t-16=0 と t+15=0 を解きます。

$$t=16 t=-15$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を t^{2}+at+bt-240 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -240 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

解は和が -1 になる組み合わせです。

$$a=-16 b=15$$

t^{2}-t-240 を \left(t^{2}-16t\right)+\left(15t-240\right) に書き換えます。

$$\left(t^{2}-16t\right)+\left(15t-240\right)$$

1 番目のグループの t と 2 番目のグループの 15 をくくり出します。

$$t\left(t-16\right)+15\left(t-16\right)$$

分配特性を使用して一般項 t-16 を除外します。

$$\left(t-16\right)\left(t+15\right)$$

方程式の解を求めるには、t-16=0 と t+15=0 を解きます。

$$t=16 t=-15$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$t^{2}-t-240=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -1 を代入し、c に -240 を代入します。

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

-4 と -240 を乗算します。

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

1 を 960 に加算します。

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

961 の平方根をとります。

$$t=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

-1 の反数は 1 です。

$$t=\frac{1±31}{2}$$

± が正の時の方程式 t=\frac{1±31}{2} の解を求めます。 1 を 31 に加算します。

$$t=\frac{32}{2}$$

32 を 2 で除算します。

$$t=16$$

± が負の時の方程式 t=\frac{1±31}{2} の解を求めます。 1 から 31 を減算します。

$$t=-\frac{30}{2}$$

-30 を 2 で除算します。

$$t=-15$$

方程式が解けました。

$$t=16 t=-15$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$t^{2}-t-240=0$$

方程式の両辺に 240 を加算します。

$$t^{2}-t-240-\left(-240\right)=-\left(-240\right)$$

それ自体から -240 を減算すると 0 のままです。

$$t^{2}-t=-\left(-240\right)$$

0 から -240 を減算します。

$$t^{2}-t=240$$

-1 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$t^{2}-t+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$t^{2}-t+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

240 を \frac{1}{4} に加算します。

$$t^{2}-t+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

因数t^{2}-t+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

簡約化します。

$$t-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} t-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

方程式の両辺に \frac{1}{2} を加算します。

$$t=16 t=-15$$