n^2-33n+260=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$n ^ { 2 } - 33 n + 260 = 0$$

n を解く

$$n=13$$

$$n=20$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) を使用して n^{2}-33n+260 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-33 ab=260$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 260 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-260 -2,-130 -4,-65 -5,-52 -10,-26 -13,-20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-260=-261 -2-130=-132 -4-65=-69 -5-52=-57 -10-26=-36 -13-20=-33$$

解は和が -33 になる組み合わせです。

$$a=-20 b=-13$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(n+a\right)\left(n+b\right) を書き換えます。

$$\left(n-20\right)\left(n-13\right)$$

方程式の解を求めるには、n-20=0 と n-13=0 を解きます。

$$n=20 n=13$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を n^{2}+an+bn+260 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-33 ab=1\times 260=260$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 260 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-260 -2,-130 -4,-65 -5,-52 -10,-26 -13,-20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-260=-261 -2-130=-132 -4-65=-69 -5-52=-57 -10-26=-36 -13-20=-33$$

解は和が -33 になる組み合わせです。

$$a=-20 b=-13$$

n^{2}-33n+260 を \left(n^{2}-20n\right)+\left(-13n+260\right) に書き換えます。

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(-13n+260\right)$$

1 番目のグループの n と 2 番目のグループの -13 をくくり出します。

$$n\left(n-20\right)-13\left(n-20\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-20 を除外します。

$$\left(n-20\right)\left(n-13\right)$$

方程式の解を求めるには、n-20=0 と n-13=0 を解きます。

$$n=20 n=13$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$n^{2}-33n+260=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -33 を代入し、c に 260 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 260}}{2}$$

-33 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 260}}{2}$$

-4 と 260 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-1040}}{2}$$

1089 を -1040 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{49}}{2}$$

49 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±7}{2}$$

-33 の反数は 33 です。

$$n=\frac{33±7}{2}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{33±7}{2} の解を求めます。 33 を 7 に加算します。

$$n=\frac{40}{2}$$

40 を 2 で除算します。

$$n=20$$

± が負の時の方程式 n=\frac{33±7}{2} の解を求めます。 33 から 7 を減算します。

$$n=\frac{26}{2}$$

26 を 2 で除算します。

$$n=13$$

方程式が解けました。

$$n=20 n=13$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$n^{2}-33n+260=0$$

方程式の両辺から 260 を減算します。

$$n^{2}-33n+260-260=-260$$

それ自体から 260 を減算すると 0 のままです。

$$n^{2}-33n=-260$$

-33 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{33}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{33}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-33n+\left(-\frac{33}{2}\right)^{2}=-260+\left(-\frac{33}{2}\right)^{2}$$

-\frac{33}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-33n+\frac{1089}{4}=-260+\frac{1089}{4}$$

-260 を \frac{1089}{4} に加算します。

$$n^{2}-33n+\frac{1089}{4}=\frac{49}{4}$$

因数n^{2}-33n+\frac{1089}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{33}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{33}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{33}{2}=\frac{7}{2} n-\frac{33}{2}=-\frac{7}{2}$$

方程式の両辺に \frac{33}{2} を加算します。

$$n=20 n=13$$