n^2-11n-60=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n を解く

$$n=-4$$

$$n=15$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) を使用して n^{2}-11n-60 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -60 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

解は和が -11 になる組み合わせです。

$$a=-15 b=4$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(n+a\right)\left(n+b\right) を書き換えます。

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

方程式の解を求めるには、n-15=0 と n+4=0 を解きます。

$$n=15 n=-4$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を n^{2}+an+bn-60 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -60 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

解は和が -11 になる組み合わせです。

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 を \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) に書き換えます。

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

1 番目のグループの n と 2 番目のグループの 4 をくくり出します。

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-15 を除外します。

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

方程式の解を求めるには、n-15=0 と n+4=0 を解きます。

$$n=15 n=-4$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$n^{2}-11n-60=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -11 を代入し、c に -60 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 と -60 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121 を 240 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 の反数は 11 です。

$$n=\frac{11±19}{2}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{11±19}{2} の解を求めます。 11 を 19 に加算します。

$$n=\frac{30}{2}$$

30 を 2 で除算します。

$$n=15$$

± が負の時の方程式 n=\frac{11±19}{2} の解を求めます。 11 から 19 を減算します。

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 を 2 で除算します。

$$n=-4$$

方程式が解けました。

$$n=15 n=-4$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$n^{2}-11n-60=0$$

方程式の両辺に 60 を加算します。

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

それ自体から -60 を減算すると 0 のままです。

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 から -60 を減算します。

$$n^{2}-11n=60$$

-11 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{11}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{11}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60 を \frac{121}{4} に加算します。

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

因数n^{2}-11n+\frac{121}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

方程式の両辺に \frac{11}{2} を加算します。

$$n=15 n=-4$$