n^2+5n=500 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

n を解く

$$n=-25$$

$$n=20$$

因数分解を使用する手順

両辺から 500 を減算します。

$$n^{2}+5n-500=0$$

方程式を解くには、公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) を使用して n^{2}+5n-500 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=5 ab=-500$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -500 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

解は和が 5 になる組み合わせです。

$$a=-20 b=25$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(n+a\right)\left(n+b\right) を書き換えます。

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

方程式の解を求めるには、n-20=0 と n+25=0 を解きます。

$$n=20 n=-25$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 500 を減算します。

$$n^{2}+5n-500=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を n^{2}+an+bn-500 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -500 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

解は和が 5 になる組み合わせです。

$$a=-20 b=25$$

n^{2}+5n-500 を \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right) に書き換えます。

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

1 番目のグループの n と 2 番目のグループの 25 をくくり出します。

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-20 を除外します。

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

方程式の解を求めるには、n-20=0 と n+25=0 を解きます。

$$n=20 n=-25$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$n^{2}+5n=500$$

方程式の両辺から 500 を減算します。

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

それ自体から 500 を減算すると 0 のままです。

$$n^{2}+5n-500=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に 5 を代入し、c に -500 を代入します。

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

5 を 2 乗します。

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

-4 と -500 を乗算します。

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

25 を 2000 に加算します。

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

2025 の平方根をとります。

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{-5±45}{2} の解を求めます。 -5 を 45 に加算します。

$$n=\frac{40}{2}$$

40 を 2 で除算します。

$$n=20$$

± が負の時の方程式 n=\frac{-5±45}{2} の解を求めます。 -5 から 45 を減算します。

$$n=-\frac{50}{2}$$

-50 を 2 で除算します。

$$n=-25$$

方程式が解けました。

$$n=20 n=-25$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$n^{2}+5n=500$$

5 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{5}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{5}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

\frac{5}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

500 を \frac{25}{4} に加算します。

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

因数n^{2}+5n+\frac{25}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

簡約化します。

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

方程式の両辺から \frac{5}{2} を減算します。

$$n=20 n=-25$$