n^2+20n+99=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$n ^ { 2 } + 20 n + 99 = 0$$

n を解く

$$n=-11$$

$$n=-9$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) を使用して n^{2}+20n+99 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=20 ab=99$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 99 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,99 3,33 9,11$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+99=100 3+33=36 9+11=20$$

解は和が 20 になる組み合わせです。

$$a=9 b=11$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(n+a\right)\left(n+b\right) を書き換えます。

$$\left(n+9\right)\left(n+11\right)$$

方程式の解を求めるには、n+9=0 と n+11=0 を解きます。

$$n=-9 n=-11$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を n^{2}+an+bn+99 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=20 ab=1\times 99=99$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 99 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,99 3,33 9,11$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+99=100 3+33=36 9+11=20$$

解は和が 20 になる組み合わせです。

$$a=9 b=11$$

n^{2}+20n+99 を \left(n^{2}+9n\right)+\left(11n+99\right) に書き換えます。

$$\left(n^{2}+9n\right)+\left(11n+99\right)$$

1 番目のグループの n と 2 番目のグループの 11 をくくり出します。

$$n\left(n+9\right)+11\left(n+9\right)$$

分配特性を使用して一般項 n+9 を除外します。

$$\left(n+9\right)\left(n+11\right)$$

方程式の解を求めるには、n+9=0 と n+11=0 を解きます。

$$n=-9 n=-11$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$n^{2}+20n+99=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に 20 を代入し、c に 99 を代入します。

$$n=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 99}}{2}$$

20 を 2 乗します。

$$n=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 99}}{2}$$

-4 と 99 を乗算します。

$$n=\frac{-20±\sqrt{400-396}}{2}$$

400 を -396 に加算します。

$$n=\frac{-20±\sqrt{4}}{2}$$

4 の平方根をとります。

$$n=\frac{-20±2}{2}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{-20±2}{2} の解を求めます。 -20 を 2 に加算します。

$$n=-\frac{18}{2}$$

-18 を 2 で除算します。

$$n=-9$$

± が負の時の方程式 n=\frac{-20±2}{2} の解を求めます。 -20 から 2 を減算します。

$$n=-\frac{22}{2}$$

-22 を 2 で除算します。

$$n=-11$$

方程式が解けました。

$$n=-9 n=-11$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$n^{2}+20n+99=0$$

方程式の両辺から 99 を減算します。

$$n^{2}+20n+99-99=-99$$

それ自体から 99 を減算すると 0 のままです。

$$n^{2}+20n=-99$$

20 (x 項の係数) を 2 で除算して 10 を求めます。次に、方程式の両辺に 10 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}+20n+10^{2}=-99+10^{2}$$

10 を 2 乗します。

$$n^{2}+20n+100=-99+100$$

-99 を 100 に加算します。

$$n^{2}+20n+100=1$$

因数n^{2}+20n+100。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n+10\right)^{2}=1$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n+10\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

簡約化します。

$$n+10=1 n+10=-1$$

方程式の両辺から 10 を減算します。

$$n=-9 n=-11$$