f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

計算

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

項別に合計を積分します。

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

k\neq -1 は \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} なので、\int t^{3}\mathrm{d}t を \frac{t^{4}}{4} に置き換えます。

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

k\neq -1 は \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} なので、\int t^{2}\mathrm{d}t を \frac{t^{3}}{3} に置き換えます。 2 と \frac{t^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}t=at の表を使用して、1 の積分を見つけます。

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

簡約化します。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

x で微分する

$$x^{3}+2x^{2}+1$$