9n^2-23n+20=3n^2 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n を解く

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 3n^{2} を減算します。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} と -3n^{2} をまとめて 6n^{2} を求めます。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 6n^{2}+an+bn+20 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 120 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

解は和が -23 になる組み合わせです。

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 を \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) に書き換えます。

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

1 番目のグループの 3n と 2 番目のグループの -4 をくくり出します。

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

分配特性を使用して一般項 2n-5 を除外します。

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

方程式の解を求めるには、2n-5=0 と 3n-4=0 を解きます。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

両辺から 3n^{2} を減算します。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} と -3n^{2} をまとめて 6n^{2} を求めます。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 6 を代入し、b に -23 を代入し、c に 20 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 と 6 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 と 20 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529 を -480 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 の反数は 23 です。

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 と 6 を乗算します。

$$n=\frac{23±7}{12}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{23±7}{12} の解を求めます。 23 を 7 に加算します。

$$n=\frac{30}{12}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{30}{12} を約分します。

$$n=\frac{5}{2}$$

± が負の時の方程式 n=\frac{23±7}{12} の解を求めます。 23 から 7 を減算します。

$$n=\frac{16}{12}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{16}{12} を約分します。

$$n=\frac{4}{3}$$

方程式が解けました。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

完全平方にする手順

両辺から 3n^{2} を減算します。

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} と -3n^{2} をまとめて 6n^{2} を求めます。

$$6n^{2}-23n+20=0$$

両辺から 20 を減算します。 ゼロから何かを引くとその負の数になります。

$$6n^{2}-23n=-20$$

両辺を 6 で除算します。

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 で除算すると、6 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-20}{6} を約分します。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

-\frac{23}{6} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{23}{12} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{23}{12} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

-\frac{23}{12} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{10}{3} を \frac{529}{144} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

因数n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

方程式の両辺に \frac{23}{12} を加算します。

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$