8x^2+10x-7=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 8x^{2}+ax+bx-7 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -56 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

解は和が 10 になる組み合わせです。

$$a=-4 b=14$$

8x^{2}+10x-7 を \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right) に書き換えます。

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

1 番目のグループの 4x と 2 番目のグループの 7 をくくり出します。

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-1 を除外します。

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-1=0 と 4x+7=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$8x^{2}+10x-7=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 8 を代入し、b に 10 を代入し、c に -7 を代入します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

10 を 2 乗します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-4 と 8 を乗算します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-32 と -7 を乗算します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

100 を 224 に加算します。

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

324 の平方根をとります。

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

2 と 8 を乗算します。

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-10±18}{16} の解を求めます。 -10 を 18 に加算します。

$$x=\frac{8}{16}$$

8 を開いて消去して、分数 \frac{8}{16} を約分します。

$$x=\frac{1}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-10±18}{16} の解を求めます。 -10 から 18 を減算します。

$$x=-\frac{28}{16}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-28}{16} を約分します。

$$x=-\frac{7}{4}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$8x^{2}+10x-7=0$$

方程式の両辺に 7 を加算します。

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

それ自体から -7 を減算すると 0 のままです。

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

0 から -7 を減算します。

$$8x^{2}+10x=7$$

両辺を 8 で除算します。

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

8 で除算すると、8 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{10}{8} を約分します。

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

\frac{5}{4} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{5}{8} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{5}{8} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

\frac{5}{8} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{7}{8} を \frac{25}{64} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

方程式の両辺から \frac{5}{8} を減算します。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$