75x^2+35x-10=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺を 5 で除算します。

$$15x^{2}+7x-2=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 15x^{2}+ax+bx-2 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -30 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

解は和が 7 になる組み合わせです。

$$a=-3 b=10$$

15x^{2}+7x-2 を \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) に書き換えます。

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 2 をくくり出します。

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 5x-1 を除外します。

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

方程式の解を求めるには、5x-1=0 と 3x+2=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$75x^{2}+35x-10=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 75 を代入し、b に 35 を代入し、c に -10 を代入します。

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35 を 2 乗します。

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-4 と 75 を乗算します。

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-300 と -10 を乗算します。

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

1225 を 3000 に加算します。

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

4225 の平方根をとります。

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

2 と 75 を乗算します。

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-35±65}{150} の解を求めます。 -35 を 65 に加算します。

$$x=\frac{30}{150}$$

30 を開いて消去して、分数 \frac{30}{150} を約分します。

$$x=\frac{1}{5}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-35±65}{150} の解を求めます。 -35 から 65 を減算します。

$$x=-\frac{100}{150}$$

50 を開いて消去して、分数 \frac{-100}{150} を約分します。

$$x=-\frac{2}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$75x^{2}+35x-10=0$$

方程式の両辺に 10 を加算します。

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

それ自体から -10 を減算すると 0 のままです。

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

0 から -10 を減算します。

$$75x^{2}+35x=10$$

両辺を 75 で除算します。

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

75 で除算すると、75 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

5 を開いて消去して、分数 \frac{35}{75} を約分します。

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

5 を開いて消去して、分数 \frac{10}{75} を約分します。

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

\frac{7}{15} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{7}{30} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{7}{30} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

\frac{7}{30} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{2}{15} を \frac{49}{900} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

方程式の両辺から \frac{7}{30} を減算します。

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$