7x^2-32x-15=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 7x^{2}+ax+bx-15 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -105 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

解は和が -32 になる組み合わせです。

$$a=-35 b=3$$

7x^{2}-32x-15 を \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right) に書き換えます。

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

1 番目のグループの 7x と 2 番目のグループの 3 をくくり出します。

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-5 を除外します。

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

方程式の解を求めるには、x-5=0 と 7x+3=0 を解きます。

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$7x^{2}-32x-15=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 7 を代入し、b に -32 を代入し、c に -15 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-32 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-4 と 7 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-28 と -15 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

1024 を 420 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

1444 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

-32 の反数は 32 です。

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

2 と 7 を乗算します。

$$x=\frac{32±38}{14}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{32±38}{14} の解を求めます。 32 を 38 に加算します。

$$x=\frac{70}{14}$$

70 を 14 で除算します。

$$x=5$$

± が負の時の方程式 x=\frac{32±38}{14} の解を求めます。 32 から 38 を減算します。

$$x=-\frac{6}{14}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-6}{14} を約分します。

$$x=-\frac{3}{7}$$

方程式が解けました。

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$7x^{2}-32x-15=0$$

方程式の両辺に 15 を加算します。

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

それ自体から -15 を減算すると 0 のままです。

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

0 から -15 を減算します。

$$7x^{2}-32x=15$$

両辺を 7 で除算します。

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

7 で除算すると、7 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

-\frac{32}{7} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{16}{7} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{16}{7} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

-\frac{16}{7} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{15}{7} を \frac{256}{49} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

因数x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

方程式の両辺に \frac{16}{7} を加算します。

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$