69x^2-38x+5=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$69 { x }^{ 2 } -38x+5=0$$

x を解く

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=\frac{5}{23}\approx 0.217391304$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 69x^{2}+ax+bx+5 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-38 ab=69\times 5=345$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 345 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-345 -3,-115 -5,-69 -15,-23$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-345=-346 -3-115=-118 -5-69=-74 -15-23=-38$$

解は和が -38 になる組み合わせです。

$$a=-23 b=-15$$

69x^{2}-38x+5 を \left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right) に書き換えます。

$$\left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right)$$

1 番目のグループの 23x と 2 番目のグループの -5 をくくり出します。

$$23x\left(3x-1\right)-5\left(3x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x-1 を除外します。

$$\left(3x-1\right)\left(23x-5\right)$$

方程式の解を求めるには、3x-1=0 と 23x-5=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$69x^{2}-38x+5=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 69 を代入し、b に -38 を代入し、c に 5 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

-38 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

-4 と 69 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-276\times 5}}{2\times 69}$$

-276 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1380}}{2\times 69}$$

1444 を -1380 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{64}}{2\times 69}$$

64 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-38\right)±8}{2\times 69}$$

-38 の反数は 38 です。

$$x=\frac{38±8}{2\times 69}$$

2 と 69 を乗算します。

$$x=\frac{38±8}{138}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{38±8}{138} の解を求めます。 38 を 8 に加算します。

$$x=\frac{46}{138}$$

46 を開いて消去して、分数 \frac{46}{138} を約分します。

$$x=\frac{1}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{38±8}{138} の解を求めます。 38 から 8 を減算します。

$$x=\frac{30}{138}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{30}{138} を約分します。

$$x=\frac{5}{23}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$69x^{2}-38x+5=0$$

方程式の両辺から 5 を減算します。

$$69x^{2}-38x+5-5=-5$$

それ自体から 5 を減算すると 0 のままです。

$$69x^{2}-38x=-5$$

両辺を 69 で除算します。

$$\frac{69x^{2}-38x}{69}=-\frac{5}{69}$$

69 で除算すると、69 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{38}{69}x=-\frac{5}{69}$$

-\frac{38}{69} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{19}{69} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{19}{69} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}=-\frac{5}{69}+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}$$

-\frac{19}{69} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=-\frac{5}{69}+\frac{361}{4761}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{5}{69} を \frac{361}{4761} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=\frac{16}{4761}$$

因数x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}=\frac{16}{4761}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{4761}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{19}{69}=\frac{4}{69} x-\frac{19}{69}=-\frac{4}{69}$$

方程式の両辺に \frac{19}{69} を加算します。

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$