6x^2-13x-15=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$6 x ^ { 2 } - 13 x - 15 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=3$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 6x^{2}+ax+bx-15 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-13 ab=6\left(-15\right)=-90$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -90 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

解は和が -13 になる組み合わせです。

$$a=-18 b=5$$

6x^{2}-13x-15 を \left(6x^{2}-18x\right)+\left(5x-15\right) に書き換えます。

$$\left(6x^{2}-18x\right)+\left(5x-15\right)$$

1 番目のグループの 6x と 2 番目のグループの 5 をくくり出します。

$$6x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-3 を除外します。

$$\left(x-3\right)\left(6x+5\right)$$

方程式の解を求めるには、x-3=0 と 6x+5=0 を解きます。

$$x=3 x=-\frac{5}{6}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$6x^{2}-13x-15=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 6 を代入し、b に -13 を代入し、c に -15 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-13 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-4 と 6 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-24 と -15 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+360}}{2\times 6}$$

169 を 360 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

529 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±23}{2\times 6}$$

-13 の反数は 13 です。

$$x=\frac{13±23}{2\times 6}$$

2 と 6 を乗算します。

$$x=\frac{13±23}{12}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{13±23}{12} の解を求めます。 13 を 23 に加算します。

$$x=\frac{36}{12}$$

36 を 12 で除算します。

$$x=3$$

± が負の時の方程式 x=\frac{13±23}{12} の解を求めます。 13 から 23 を減算します。

$$x=-\frac{10}{12}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-10}{12} を約分します。

$$x=-\frac{5}{6}$$

方程式が解けました。

$$x=3 x=-\frac{5}{6}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$6x^{2}-13x-15=0$$

方程式の両辺に 15 を加算します。

$$6x^{2}-13x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

それ自体から -15 を減算すると 0 のままです。

$$6x^{2}-13x=-\left(-15\right)$$

0 から -15 を減算します。

$$6x^{2}-13x=15$$

両辺を 6 で除算します。

$$\frac{6x^{2}-13x}{6}=\frac{15}{6}$$

6 で除算すると、6 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{15}{6}$$

3 を開いて消去して、分数 \frac{15}{6} を約分します。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{5}{2}$$

-\frac{13}{6} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{13}{12} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{13}{12} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

-\frac{13}{12} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{5}{2}+\frac{169}{144}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{5}{2} を \frac{169}{144} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{529}{144}$$

因数x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{13}{12}=\frac{23}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{23}{12}$$

方程式の両辺に \frac{13}{12} を加算します。

$$x=3 x=-\frac{5}{6}$$