6x^2+7x-5=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 6x^{2}+ax+bx-5 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -30 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

解は和が 7 になる組み合わせです。

$$a=-3 b=10$$

6x^{2}+7x-5 を \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right) に書き換えます。

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 5 をくくり出します。

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-1 を除外します。

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-1=0 と 3x+5=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$6x^{2}+7x-5=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 6 を代入し、b に 7 を代入し、c に -5 を代入します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

7 を 2 乗します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-4 と 6 を乗算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-24 と -5 を乗算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

49 を 120 に加算します。

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

169 の平方根をとります。

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

2 と 6 を乗算します。

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-7±13}{12} の解を求めます。 -7 を 13 に加算します。

$$x=\frac{6}{12}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{6}{12} を約分します。

$$x=\frac{1}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-7±13}{12} の解を求めます。 -7 から 13 を減算します。

$$x=-\frac{20}{12}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-20}{12} を約分します。

$$x=-\frac{5}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$6x^{2}+7x-5=0$$

方程式の両辺に 5 を加算します。

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

それ自体から -5 を減算すると 0 のままです。

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

0 から -5 を減算します。

$$6x^{2}+7x=5$$

両辺を 6 で除算します。

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

6 で除算すると、6 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

\frac{7}{6} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{7}{12} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{7}{12} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

\frac{7}{12} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{5}{6} を \frac{49}{144} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

因数 x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

方程式の両辺から \frac{7}{12} を減算します。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$