6x^2+19x-7=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

x を解く

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 6x^{2}+ax+bx-7 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -42 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

解は和が 19 になる組み合わせです。

$$a=-2 b=21$$

6x^{2}+19x-7 を \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right) に書き換えます。

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの 7 をくくり出します。

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x-1 を除外します。

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

方程式の解を求めるには、3x-1=0 と 2x+7=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$6x^{2}+19x-7=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 6 を代入し、b に 19 を代入し、c に -7 を代入します。

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

19 を 2 乗します。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4 と 6 を乗算します。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24 と -7 を乗算します。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

361 を 168 に加算します。

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

529 の平方根をとります。

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

2 と 6 を乗算します。

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-19±23}{12} の解を求めます。 -19 を 23 に加算します。

$$x=\frac{4}{12}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{4}{12} を約分します。

$$x=\frac{1}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-19±23}{12} の解を求めます。 -19 から 23 を減算します。

$$x=-\frac{42}{12}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{-42}{12} を約分します。

$$x=-\frac{7}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$6x^{2}+19x-7=0$$

方程式の両辺に 7 を加算します。

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

それ自体から -7 を減算すると 0 のままです。

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

0 から -7 を減算します。

$$6x^{2}+19x=7$$

両辺を 6 で除算します。

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

6 で除算すると、6 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

\frac{19}{6} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{19}{12} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{19}{12} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

\frac{19}{12} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{7}{6} を \frac{361}{144} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

因数x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

方程式の両辺から \frac{19}{12} を減算します。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$