5x^2-24x-68=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$5 x ^ { 2 } - 24 x - 68 = 0$$

x を解く

$$x=-2$$

$$x = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5} = 6.8$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 5x^{2}+ax+bx-68 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-24 ab=5\left(-68\right)=-340$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -340 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-340 2,-170 4,-85 5,-68 10,-34 17,-20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-340=-339 2-170=-168 4-85=-81 5-68=-63 10-34=-24 17-20=-3$$

解は和が -24 になる組み合わせです。

$$a=-34 b=10$$

5x^{2}-24x-68 を \left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right) に書き換えます。

$$\left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 2 をくくり出します。

$$x\left(5x-34\right)+2\left(5x-34\right)$$

分配特性を使用して一般項 5x-34 を除外します。

$$\left(5x-34\right)\left(x+2\right)$$

方程式の解を求めるには、5x-34=0 と x+2=0 を解きます。

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$5x^{2}-24x-68=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 5 を代入し、b に -24 を代入し、c に -68 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

-24 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

-4 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

-20 と -68 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+1360}}{2\times 5}$$

576 を 1360 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1936}}{2\times 5}$$

1936 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-24\right)±44}{2\times 5}$$

-24 の反数は 24 です。

$$x=\frac{24±44}{2\times 5}$$

2 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{24±44}{10}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{24±44}{10} の解を求めます。 24 を 44 に加算します。

$$x=\frac{68}{10}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{68}{10} を約分します。

$$x=\frac{34}{5}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{24±44}{10} の解を求めます。 24 から 44 を減算します。

$$x=-\frac{20}{10}$$

-20 を 10 で除算します。

$$x=-2$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$5x^{2}-24x-68=0$$

方程式の両辺に 68 を加算します。

$$5x^{2}-24x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

それ自体から -68 を減算すると 0 のままです。

$$5x^{2}-24x=-\left(-68\right)$$

0 から -68 を減算します。

$$5x^{2}-24x=68$$

両辺を 5 で除算します。

$$\frac{5x^{2}-24x}{5}=\frac{68}{5}$$

5 で除算すると、5 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x=\frac{68}{5}$$

-\frac{24}{5} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{12}{5} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{12}{5} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{68}{5}+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}$$

-\frac{12}{5} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{68}{5}+\frac{144}{25}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{68}{5} を \frac{144}{25} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{484}{25}$$

因数x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{12}{5}=\frac{22}{5} x-\frac{12}{5}=-\frac{22}{5}$$

方程式の両辺に \frac{12}{5} を加算します。

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$