5x^2+3x+1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

x を解く (複素数の解)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$5x^{2}+3x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 5 を代入し、b に 3 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3 を 2 乗します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

-4 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

9 を -20 に加算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

-11 の平方根をとります。

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

2 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} の解を求めます。 -3 を i\sqrt{11} に加算します。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} の解を求めます。 -3 から i\sqrt{11} を減算します。

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$5x^{2}+3x+1=0$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$5x^{2}+3x=-1$$

両辺を 5 で除算します。

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5 で除算すると、5 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

\frac{3}{5} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{3}{10} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{3}{10} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

\frac{3}{10} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{5} を \frac{9}{100} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

因数 x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

方程式の両辺から \frac{3}{10} を減算します。

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$