5y^2-90y+54=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

y を解く

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$5y^{2}-90y+54=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 5 を代入し、b に -90 を代入し、c に 54 を代入します。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-90 を 2 乗します。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-4 と 5 を乗算します。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

-20 と 54 を乗算します。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

8100 を -1080 に加算します。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

7020 の平方根をとります。

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

-90 の反数は 90 です。

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

2 と 5 を乗算します。

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

± が正の時の方程式 y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} の解を求めます。 90 を 6\sqrt{195} に加算します。

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

90+6\sqrt{195} を 10 で除算します。

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

± が負の時の方程式 y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} の解を求めます。 90 から 6\sqrt{195} を減算します。

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

90-6\sqrt{195} を 10 で除算します。

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

方程式が解けました。

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$5y^{2}-90y+54=0$$

方程式の両辺から 54 を減算します。

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

それ自体から 54 を減算すると 0 のままです。

$$5y^{2}-90y=-54$$

両辺を 5 で除算します。

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

5 で除算すると、5 での乗算を元に戻します。

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

-90 を 5 で除算します。

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

-18 (x 項の係数) を 2 で除算して -9 を求めます。次に、方程式の両辺に -9 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

-9 を 2 乗します。

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

-\frac{54}{5} を 81 に加算します。

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

因数y^{2}-18y+81。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

簡約化します。

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

方程式の両辺に 9 を加算します。

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$