5x^2-29x-42=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

x を解く

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 5x^{2}+ax+bx-42 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -210 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

解は和が -29 になる組み合わせです。

$$a=-35 b=6$$

5x^{2}-29x-42 を \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right) に書き換えます。

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

1 番目のグループの 5x と 2 番目のグループの 6 をくくり出します。

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-7 を除外します。

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

方程式の解を求めるには、x-7=0 と 5x+6=0 を解きます。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$5x^{2}-29x-42=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 5 を代入し、b に -29 を代入し、c に -42 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-4 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-20 と -42 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

841 を 840 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

1681 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 の反数は 29 です。

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

2 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{29±41}{10}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{29±41}{10} の解を求めます。 29 を 41 に加算します。

$$x=\frac{70}{10}$$

70 を 10 で除算します。

$$x=7$$

± が負の時の方程式 x=\frac{29±41}{10} の解を求めます。 29 から 41 を減算します。

$$x=-\frac{12}{10}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-12}{10} を約分します。

$$x=-\frac{6}{5}$$

方程式が解けました。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$5x^{2}-29x-42=0$$

方程式の両辺に 42 を加算します。

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

それ自体から -42 を減算すると 0 のままです。

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

0 から -42 を減算します。

$$5x^{2}-29x=42$$

両辺を 5 で除算します。

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

5 で除算すると、5 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

-\frac{29}{5} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{29}{10} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{29}{10} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

-\frac{29}{10} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{42}{5} を \frac{841}{100} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

因数x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

方程式の両辺に \frac{29}{10} を加算します。

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$