5x^2+11x-12=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$5 { x }^{ 2 } +11x-12=0$$

x を解く

$$x=-3$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 5x^{2}+ax+bx-12 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=11 ab=5\left(-12\right)=-60$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -60 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

解は和が 11 になる組み合わせです。

$$a=-4 b=15$$

5x^{2}+11x-12 を \left(5x^{2}-4x\right)+\left(15x-12\right) に書き換えます。

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(15x-12\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 3 をくくり出します。

$$x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

分配特性を使用して一般項 5x-4 を除外します。

$$\left(5x-4\right)\left(x+3\right)$$

方程式の解を求めるには、5x-4=0 と x+3=0 を解きます。

$$x=\frac{4}{5} x=-3$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$5x^{2}+11x-12=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 5 を代入し、b に 11 を代入し、c に -12 を代入します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

11 を 2 乗します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-4 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-20 と -12 を乗算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 5}$$

121 を 240 に加算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

361 の平方根をとります。

$$x=\frac{-11±19}{2\times 5}$$

2 と 5 を乗算します。

$$x=\frac{-11±19}{10}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-11±19}{10} の解を求めます。 -11 を 19 に加算します。

$$x=\frac{8}{10}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{8}{10} を約分します。

$$x=\frac{4}{5}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-11±19}{10} の解を求めます。 -11 から 19 を減算します。

$$x=-\frac{30}{10}$$

-30 を 10 で除算します。

$$x=-3$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{4}{5} x=-3$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$5x^{2}+11x-12=0$$

方程式の両辺に 12 を加算します。

$$5x^{2}+11x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

それ自体から -12 を減算すると 0 のままです。

$$5x^{2}+11x=-\left(-12\right)$$

0 から -12 を減算します。

$$5x^{2}+11x=12$$

両辺を 5 で除算します。

$$\frac{5x^{2}+11x}{5}=\frac{12}{5}$$

5 で除算すると、5 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{11}{5}x=\frac{12}{5}$$

\frac{11}{5} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{11}{10} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{11}{10} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{11}{5}x+\left(\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(\frac{11}{10}\right)^{2}$$

\frac{11}{10} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=\frac{12}{5}+\frac{121}{100}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{12}{5} を \frac{121}{100} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=\frac{361}{100}$$

因数x^{2}+\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{11}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{11}{10}=-\frac{19}{10}$$

方程式の両辺から \frac{11}{10} を減算します。

$$x=\frac{4}{5} x=-3$$