42x^2-5x-3=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 42x^{2}+ax+bx-3 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -126 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

解は和が -5 になる組み合わせです。

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 を \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) に書き換えます。

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

1 番目のグループの 14x と 2 番目のグループの 3 をくくり出します。

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x-1 を除外します。

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

方程式の解を求めるには、3x-1=0 と 14x+3=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$42x^{2}-5x-3=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 42 を代入し、b に -5 を代入し、c に -3 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4 と 42 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168 と -3 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

25 を 504 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

529 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

-5 の反数は 5 です。

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2 と 42 を乗算します。

$$x=\frac{5±23}{84}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{5±23}{84} の解を求めます。 5 を 23 に加算します。

$$x=\frac{28}{84}$$

28 を開いて消去して、分数 \frac{28}{84} を約分します。

$$x=\frac{1}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{5±23}{84} の解を求めます。 5 から 23 を減算します。

$$x=-\frac{18}{84}$$

6 を開いて消去して、分数 \frac{-18}{84} を約分します。

$$x=-\frac{3}{14}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$42x^{2}-5x-3=0$$

方程式の両辺に 3 を加算します。

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

それ自体から -3 を減算すると 0 のままです。

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

0 から -3 を減算します。

$$42x^{2}-5x=3$$

両辺を 42 で除算します。

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

42 で除算すると、42 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

3 を開いて消去して、分数 \frac{3}{42} を約分します。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

-\frac{5}{42} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{5}{84} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{5}{84} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

-\frac{5}{84} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1}{14} を \frac{25}{7056} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

因数x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

方程式の両辺に \frac{5}{84} を加算します。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$