40x^2-14x+1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

x を解く

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 40x^{2}+ax+bx+1 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 40 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

解は和が -14 になる組み合わせです。

$$a=-10 b=-4$$

40x^{2}-14x+1 を \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right) に書き換えます。

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

1 番目のグループの 10x と 2 番目のグループの -1 をくくり出します。

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 4x-1 を除外します。

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

方程式の解を求めるには、4x-1=0 と 10x-1=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$40x^{2}-14x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 40 を代入し、b に -14 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

-14 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

-4 と 40 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

196 を -160 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

36 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 の反数は 14 です。

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

2 と 40 を乗算します。

$$x=\frac{14±6}{80}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{14±6}{80} の解を求めます。 14 を 6 に加算します。

$$x=\frac{20}{80}$$

20 を開いて消去して、分数 \frac{20}{80} を約分します。

$$x=\frac{1}{4}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{14±6}{80} の解を求めます。 14 から 6 を減算します。

$$x=\frac{8}{80}$$

8 を開いて消去して、分数 \frac{8}{80} を約分します。

$$x=\frac{1}{10}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$40x^{2}-14x+1=0$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$40x^{2}-14x=-1$$

両辺を 40 で除算します。

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

40 で除算すると、40 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-14}{40} を約分します。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

-\frac{7}{20} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{7}{40} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{7}{40} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

-\frac{7}{40} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{40} を \frac{49}{1600} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

因数x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

方程式の両辺に \frac{7}{40} を加算します。

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$