4x^2-x-5=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

x を解く

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx-5 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -20 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

解は和が -1 になる組み合わせです。

$$a=-5 b=4$$

4x^{2}-x-5 を \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

x の 4x^{2}-5x を除外します。

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

分配特性を使用して一般項 4x-5 を除外します。

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、4x-5=0 と x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-x-5=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -1 を代入し、c に -5 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -5 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

1 を 80 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

81 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

-1 の反数は 1 です。

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{1±9}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{1±9}{8} の解を求めます。 1 を 9 に加算します。

$$x=\frac{10}{8}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{10}{8} を約分します。

$$x=\frac{5}{4}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{1±9}{8} の解を求めます。 1 から 9 を減算します。

$$x=-\frac{8}{8}$$

-8 を 8 で除算します。

$$x=-1$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-x-5=0$$

方程式の両辺に 5 を加算します。

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

それ自体から -5 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

0 から -5 を減算します。

$$4x^{2}-x=5$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

-\frac{1}{4} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{8} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{8} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

-\frac{1}{8} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{5}{4} を \frac{1}{64} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

因数x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

方程式の両辺に \frac{1}{8} を加算します。

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$