4x^2-7x-1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

x を解く

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-7x-1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -7 を代入し、c に -1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-7 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -1 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

49 を 16 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

-7 の反数は 7 です。

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} の解を求めます。 7 を \sqrt{65} に加算します。

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} の解を求めます。 7 から \sqrt{65} を減算します。

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-7x-1=0$$

方程式の両辺に 1 を加算します。

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

それ自体から -1 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

0 から -1 を減算します。

$$4x^{2}-7x=1$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

-\frac{7}{4} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{7}{8} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{7}{8} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1}{4} を \frac{49}{64} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

因数x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

方程式の両辺に \frac{7}{8} を加算します。

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$