4x^2-5x+1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

x を解く

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx+1 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 4 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-4 -2,-2$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

解は和が -5 になる組み合わせです。

$$a=-4 b=-1$$

4x^{2}-5x+1 を \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

1 番目のグループの 4x と 2 番目のグループの -1 をくくり出します。

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-1 を除外します。

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

方程式の解を求めるには、x-1=0 と 4x-1=0 を解きます。

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-5x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -5 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-5 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

25 を -16 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

9 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 の反数は 5 です。

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{5±3}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{5±3}{8} の解を求めます。 5 を 3 に加算します。

$$x=\frac{8}{8}$$

8 を 8 で除算します。

$$x=1$$

± が負の時の方程式 x=\frac{5±3}{8} の解を求めます。 5 から 3 を減算します。

$$x=\frac{2}{8}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{2}{8} を約分します。

$$x=\frac{1}{4}$$

方程式が解けました。

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-5x+1=0$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-5x=-1$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{4} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{5}{8} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{5}{8} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{4} を \frac{25}{64} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

因数x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

方程式の両辺に \frac{5}{8} を加算します。

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$