4x^2-4x+1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

x を解く

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx+1 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 4 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-4 -2,-2$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

解は和が -4 になる組み合わせです。

$$a=-2 b=-2$$

4x^{2}-4x+1 を \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの -1 をくくり出します。

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-1 を除外します。

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

2 項式の平方に書き換えます。

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

方程式の解を求めるには、2x-1=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-4x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -4 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

16 を -16 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

0 の平方根をとります。

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

-4 の反数は 4 です。

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{4}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{4}{8} を約分します。

$$x=\frac{1}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-4x+1=0$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-4x=-1$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

-4 を 4 で除算します。

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

-1 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{4} を \frac{1}{4} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

因数x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

方程式の両辺に \frac{1}{2} を加算します。

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

方程式が解けました。 解は同じです。

$$x=\frac{1}{2}$$