4x^2-12x-27=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx-27 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -108 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

解は和が -12 になる組み合わせです。

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27 を \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの 3 をくくり出します。

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-9 を除外します。

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-9=0 と 2x+3=0 を解きます。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-12x-27=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -12 を代入し、c に -27 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -27 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

144 を 432 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 の反数は 12 です。

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{12±24}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{12±24}{8} の解を求めます。 12 を 24 に加算します。

$$x=\frac{36}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{36}{8} を約分します。

$$x=\frac{9}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{12±24}{8} の解を求めます。 12 から 24 を減算します。

$$x=-\frac{12}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-12}{8} を約分します。

$$x=-\frac{3}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-12x-27=0$$

方程式の両辺に 27 を加算します。

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

それ自体から -27 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

0 から -27 を減算します。

$$4x^{2}-12x=27$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 を 4 で除算します。

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

-3 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{3}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{3}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{27}{4} を \frac{9}{4} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

因数x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

簡約化します。

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

方程式の両辺に \frac{3}{2} を加算します。

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$