4x^2+6x+1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

x を解く

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}+6x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に 6 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

6 を 2 乗します。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

36 を -16 に加算します。

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

20 の平方根をとります。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} の解を求めます。 -6 を 2\sqrt{5} に加算します。

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6+2\sqrt{5} を 8 で除算します。

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} の解を求めます。 -6 から 2\sqrt{5} を減算します。

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

-6-2\sqrt{5} を 8 で除算します。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}+6x+1=0$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}+6x=-1$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{6}{4} を約分します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

\frac{3}{2} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{3}{4} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{3}{4} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{4} を \frac{9}{16} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

方程式の両辺から \frac{3}{4} を減算します。

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$