4x^2+48x-81=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx-81 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -324 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

解は和が 48 になる組み合わせです。

$$a=-6 b=54$$

4x^{2}+48x-81 を \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

1 番目のグループの 2x と 2 番目のグループの 27 をくくり出します。

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

分配特性を使用して一般項 2x-3 を除外します。

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-3=0 と 2x+27=0 を解きます。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}+48x-81=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に 48 を代入し、c に -81 を代入します。

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48 を 2 乗します。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -81 を乗算します。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

2304 を 1296 に加算します。

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

3600 の平方根をとります。

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-48±60}{8} の解を求めます。 -48 を 60 に加算します。

$$x=\frac{12}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{12}{8} を約分します。

$$x=\frac{3}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-48±60}{8} の解を求めます。 -48 から 60 を減算します。

$$x=-\frac{108}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-108}{8} を約分します。

$$x=-\frac{27}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}+48x-81=0$$

方程式の両辺に 81 を加算します。

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

それ自体から -81 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

0 から -81 を減算します。

$$4x^{2}+48x=81$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 を 4 で除算します。

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

12 (x 項の係数) を 2 で除算して 6 を求めます。次に、方程式の両辺に 6 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6 を 2 乗します。

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

\frac{81}{4} を 36 に加算します。

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

因数x^{2}+12x+36。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

簡約化します。

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

方程式の両辺から 6 を減算します。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$