4n^2-7n=11 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n を解く

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 11 を減算します。

$$4n^{2}-7n-11=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4n^{2}+an+bn-11 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -44 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

解は和が -7 になる組み合わせです。

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 を \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) に書き換えます。

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

n の 4n^{2}-11n を除外します。

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

分配特性を使用して一般項 4n-11 を除外します。

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

方程式の解を求めるには、4n-11=0 と n+1=0 を解きます。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4n^{2}-7n=11$$

方程式の両辺から 11 を減算します。

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

それ自体から 11 を減算すると 0 のままです。

$$4n^{2}-7n-11=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -7 を代入し、c に -11 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -11 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49 を 176 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 の反数は 7 です。

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$n=\frac{7±15}{8}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{7±15}{8} の解を求めます。 7 を 15 に加算します。

$$n=\frac{22}{8}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{22}{8} を約分します。

$$n=\frac{11}{4}$$

± が負の時の方程式 n=\frac{7±15}{8} の解を求めます。 7 から 15 を減算します。

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 を 8 で除算します。

$$n=-1$$

方程式が解けました。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4n^{2}-7n=11$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

-\frac{7}{4} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{7}{8} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{7}{8} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{11}{4} を \frac{49}{64} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

因数n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

方程式の両辺に \frac{7}{8} を加算します。

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$