4x^2-4x-3=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx-3 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -12 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

解は和が -4 になる組み合わせです。

$$a=-6 b=2$$

4x^{2}-4x-3 を \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

2x の 4x^{2}-6x を除外します。

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

分配特性を使用して一般項 2x-3 を除外します。

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-3=0 と 2x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-4x-3=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -4 を代入し、c に -3 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -3 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

16 を 48 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

64 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

-4 の反数は 4 です。

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{4±8}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{4±8}{8} の解を求めます。 4 を 8 に加算します。

$$x=\frac{12}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{12}{8} を約分します。

$$x=\frac{3}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{4±8}{8} の解を求めます。 4 から 8 を減算します。

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-4}{8} を約分します。

$$x=-\frac{1}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-4x-3=0$$

方程式の両辺に 3 を加算します。

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

それ自体から -3 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

0 から -3 を減算します。

$$4x^{2}-4x=3$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

-4 を 4 で除算します。

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

-1 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{3}{4} を \frac{1}{4} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

方程式の両辺に \frac{1}{2} を加算します。

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$