4x^2-12x-7=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

x を解く

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx-7 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -28 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

解は和が -12 になる組み合わせです。

$$a=-14 b=2$$

4x^{2}-12x-7 を \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

2x の 4x^{2}-14x を除外します。

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

分配特性を使用して一般項 2x-7 を除外します。

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-7=0 と 2x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-12x-7=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -12 を代入し、c に -7 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-12 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -7 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

144 を 112 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

-12 の反数は 12 です。

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{12±16}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{12±16}{8} の解を求めます。 12 を 16 に加算します。

$$x=\frac{28}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{28}{8} を約分します。

$$x=\frac{7}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{12±16}{8} の解を求めます。 12 から 16 を減算します。

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-4}{8} を約分します。

$$x=-\frac{1}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-12x-7=0$$

方程式の両辺に 7 を加算します。

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

それ自体から -7 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

0 から -7 を減算します。

$$4x^{2}-12x=7$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

-12 を 4 で除算します。

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

-3 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{3}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{3}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{7}{4} を \frac{9}{4} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

因数x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

簡約化します。

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

方程式の両辺に \frac{3}{2} を加算します。

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$