4x^2+4x=120 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

x を解く

$$x=-6$$

$$x=5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 120 を減算します。

$$4x^{2}+4x-120=0$$

両辺を 4 で除算します。

$$x^{2}+x-30=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を x^{2}+ax+bx-30 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -30 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

解は和が 1 になる組み合わせです。

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30 を \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 6 をくくり出します。

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-5 を除外します。

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

方程式の解を求めるには、x-5=0 と x+6=0 を解きます。

$$x=5 x=-6$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}+4x=120$$

方程式の両辺から 120 を減算します。

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

それ自体から 120 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}+4x-120=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に 4 を代入し、c に -120 を代入します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4 を 2 乗します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -120 を乗算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

16 を 1920 に加算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

1936 の平方根をとります。

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-4±44}{8} の解を求めます。 -4 を 44 に加算します。

$$x=\frac{40}{8}$$

40 を 8 で除算します。

$$x=5$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-4±44}{8} の解を求めます。 -4 から 44 を減算します。

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 を 8 で除算します。

$$x=-6$$

方程式が解けました。

$$x=5 x=-6$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}+4x=120$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4 を 4 で除算します。

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120 を 4 で除算します。

$$x^{2}+x=30$$

1 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

30 を \frac{1}{4} に加算します。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

方程式の両辺から \frac{1}{2} を減算します。

$$x=5 x=-6$$