4x^2+4x=1 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

x を解く

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1.207106781$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}+4x=1$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}+4x-1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に 4 を代入し、c に -1 を代入します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

4 を 2 乗します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -1 を乗算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

16 を 16 に加算します。

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

32 の平方根をとります。

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} の解を求めます。 -4 を 4\sqrt{2} に加算します。

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4+4\sqrt{2} を 8 で除算します。

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} の解を求めます。 -4 から 4\sqrt{2} を減算します。

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

-4-4\sqrt{2} を 8 で除算します。

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}+4x=1$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

4 を 4 で除算します。

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

1 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1}{4} を \frac{1}{4} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

因数x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

方程式の両辺から \frac{1}{2} を減算します。

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$