3z^2+3z+20=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 z ^ { 2 } + 3 z + 20 = 0$$

z を解く

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+2.533114026i$$

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-2.533114026i$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3z^{2}+3z+20=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に 3 を代入し、c に 20 を代入します。

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

3 を 2 乗します。

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 20}}{2\times 3}$$

-12 と 20 を乗算します。

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 3}$$

9 を -240 に加算します。

$$z=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 3}$$

-231 の平方根をとります。

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}$$

± が正の時の方程式 z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} の解を求めます。 -3 を i\sqrt{231} に加算します。

$$z=\frac{-3+\sqrt{231}i}{6}$$

-3+i\sqrt{231} を 6 で除算します。

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

± が負の時の方程式 z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} の解を求めます。 -3 から i\sqrt{231} を減算します。

$$z=\frac{-\sqrt{231}i-3}{6}$$

-3-i\sqrt{231} を 6 で除算します。

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

方程式が解けました。

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3z^{2}+3z+20=0$$

方程式の両辺から 20 を減算します。

$$3z^{2}+3z+20-20=-20$$

それ自体から 20 を減算すると 0 のままです。

$$3z^{2}+3z=-20$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3z^{2}+3z}{3}=-\frac{20}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$z^{2}+\frac{3}{3}z=-\frac{20}{3}$$

3 を 3 で除算します。

$$z^{2}+z=-\frac{20}{3}$$

1 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$z^{2}+z+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{20}{3}+\frac{1}{4}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{20}{3} を \frac{1}{4} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{77}{12}$$

因数z^{2}+z+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{77}{12}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77}{12}}$$

簡約化します。

$$z+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{231}i}{6} z+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{231}i}{6}$$

方程式の両辺から \frac{1}{2} を減算します。

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$