3y^2-y-4=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

y を解く

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3y^{2}+ay+by-4 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -12 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

解は和が -1 になる組み合わせです。

$$a=-4 b=3$$

3y^{2}-y-4 を \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right) に書き換えます。

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

y の 3y^{2}-4y を除外します。

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

分配特性を使用して一般項 3y-4 を除外します。

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

方程式の解を求めるには、3y-4=0 と y+1=0 を解きます。

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3y^{2}-y-4=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -1 を代入し、c に -4 を代入します。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -4 を乗算します。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

1 を 48 に加算します。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

49 の平方根をとります。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

-1 の反数は 1 です。

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$y=\frac{1±7}{6}$$

± が正の時の方程式 y=\frac{1±7}{6} の解を求めます。 1 を 7 に加算します。

$$y=\frac{8}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{8}{6} を約分します。

$$y=\frac{4}{3}$$

± が負の時の方程式 y=\frac{1±7}{6} の解を求めます。 1 から 7 を減算します。

$$y=-\frac{6}{6}$$

-6 を 6 で除算します。

$$y=-1$$

方程式が解けました。

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3y^{2}-y-4=0$$

方程式の両辺に 4 を加算します。

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

それ自体から -4 を減算すると 0 のままです。

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

0 から -4 を減算します。

$$3y^{2}-y=4$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{6} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{6} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

-\frac{1}{6} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{4}{3} を \frac{1}{36} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

因数y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

簡約化します。

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

方程式の両辺に \frac{1}{6} を加算します。

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$