3x^2-32x+84=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

x を解く

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx+84 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 252 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

解は和が -32 になる組み合わせです。

$$a=-18 b=-14$$

3x^{2}-32x+84 を \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの -14 をくくり出します。

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-6 を除外します。

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

方程式の解を求めるには、x-6=0 と 3x-14=0 を解きます。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3x^{2}-32x+84=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -32 を代入し、c に 84 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-32 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

-12 と 84 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

1024 を -1008 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 の反数は 32 です。

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{32±4}{6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{32±4}{6} の解を求めます。 32 を 4 に加算します。

$$x=\frac{36}{6}$$

36 を 6 で除算します。

$$x=6$$

± が負の時の方程式 x=\frac{32±4}{6} の解を求めます。 32 から 4 を減算します。

$$x=\frac{28}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{28}{6} を約分します。

$$x=\frac{14}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3x^{2}-32x+84=0$$

方程式の両辺から 84 を減算します。

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

それ自体から 84 を減算すると 0 のままです。

$$3x^{2}-32x=-84$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84 を 3 で除算します。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

-\frac{32}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{16}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{16}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

-\frac{16}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

-28 を \frac{256}{9} に加算します。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

因数x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

方程式の両辺に \frac{16}{3} を加算します。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$