3x^2-2x-16=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

x を解く

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx-16 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -48 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

解は和が -2 になる組み合わせです。

$$a=-8 b=6$$

3x^{2}-2x-16 を \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 2 をくくり出します。

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x-8 を除外します。

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

方程式の解を求めるには、3x-8=0 と x+2=0 を解きます。

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3x^{2}-2x-16=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -2 を代入し、c に -16 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-2 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -16 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

4 を 192 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

-2 の反数は 2 です。

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{2±14}{6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{2±14}{6} の解を求めます。 2 を 14 に加算します。

$$x=\frac{16}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{16}{6} を約分します。

$$x=\frac{8}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{2±14}{6} の解を求めます。 2 から 14 を減算します。

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 を 6 で除算します。

$$x=-2$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3x^{2}-2x-16=0$$

方程式の両辺に 16 を加算します。

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

それ自体から -16 を減算すると 0 のままです。

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

0 から -16 を減算します。

$$3x^{2}-2x=16$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

-\frac{2}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{16}{3} を \frac{1}{9} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

因数x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

方程式の両辺に \frac{1}{3} を加算します。

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$