3x+5=x^2+1 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

x を解く

$$x=-1$$

$$x=4$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から x^{2} を減算します。

$$3x+5-x^{2}=1$$

両辺から 1 を減算します。

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

5 から 1 を減算して 4 を求めます。

$$3x+4-x^{2}=0$$

多項式を再整理して標準形にします。項を降べきの順に配置します。

$$-x^{2}+3x+4=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を -x^{2}+ax+bx+4 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -4 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,4 -2,2$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+4=3 -2+2=0$$

解は和が 3 になる組み合わせです。

$$a=4 b=-1$$

-x^{2}+3x+4 を \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) に書き換えます。

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

1 番目のグループの -x と 2 番目のグループの -1 をくくり出します。

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-4 を除外します。

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

方程式の解を求めるには、x-4=0 と -x-1=0 を解きます。

$$x=4 x=-1$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

両辺から x^{2} を減算します。

$$3x+5-x^{2}=1$$

両辺から 1 を減算します。

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

5 から 1 を減算して 4 を求めます。

$$3x+4-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$-x^{2}+3x+4=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に -1 を代入し、b に 3 を代入し、c に 4 を代入します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

3 を 2 乗します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

-4 と -1 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

9 を 16 に加算します。

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

25 の平方根をとります。

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

2 と -1 を乗算します。

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-3±5}{-2} の解を求めます。 -3 を 5 に加算します。

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 を -2 で除算します。

$$x=-1$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-3±5}{-2} の解を求めます。 -3 から 5 を減算します。

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-8 を -2 で除算します。

$$x=4$$

方程式が解けました。

$$x=-1 x=4$$

完全平方にする手順

両辺から x^{2} を減算します。

$$3x+5-x^{2}=1$$

両辺から 5 を減算します。

$$3x-x^{2}=1-5$$

1 から 5 を減算して -4 を求めます。

$$3x-x^{2}=-4$$

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$-x^{2}+3x=-4$$

両辺を -1 で除算します。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1 で除算すると、-1 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

3 を -1 で除算します。

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

-4 を -1 で除算します。

$$x^{2}-3x=4$$

-3 (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{3}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{3}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

4 を \frac{9}{4} に加算します。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

因数 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

方程式の両辺に \frac{3}{2} を加算します。

$$x=4 x=-1$$