3n^2-4n-15=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

n を解く

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3n^{2}+an+bn-15 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -45 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

解は和が -4 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=5$$

3n^{2}-4n-15 を \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) に書き換えます。

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

1 番目のグループの 3n と 2 番目のグループの 5 をくくり出します。

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-3 を除外します。

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

方程式の解を求めるには、n-3=0 と 3n+5=0 を解きます。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3n^{2}-4n-15=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -4 を代入し、c に -15 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -15 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

16 を 180 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 の反数は 4 です。

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$n=\frac{4±14}{6}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{4±14}{6} の解を求めます。 4 を 14 に加算します。

$$n=\frac{18}{6}$$

18 を 6 で除算します。

$$n=3$$

± が負の時の方程式 n=\frac{4±14}{6} の解を求めます。 4 から 14 を減算します。

$$n=-\frac{10}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-10}{6} を約分します。

$$n=-\frac{5}{3}$$

方程式が解けました。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3n^{2}-4n-15=0$$

方程式の両辺に 15 を加算します。

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

それ自体から -15 を減算すると 0 のままです。

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

0 から -15 を減算します。

$$3n^{2}-4n=15$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 を 3 で除算します。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

-\frac{4}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{2}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{2}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

5 を \frac{4}{9} に加算します。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

因数n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

方程式の両辺に \frac{2}{3} を加算します。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$