3n^2+10n=8 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

n を解く

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 8 を減算します。

$$3n^{2}+10n-8=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3n^{2}+an+bn-8 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -24 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

解は和が 10 になる組み合わせです。

$$a=-2 b=12$$

3n^{2}+10n-8 を \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right) に書き換えます。

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

1 番目のグループの n と 2 番目のグループの 4 をくくり出します。

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

分配特性を使用して一般項 3n-2 を除外します。

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

方程式の解を求めるには、3n-2=0 と n+4=0 を解きます。

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3n^{2}+10n=8$$

方程式の両辺から 8 を減算します。

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

それ自体から 8 を減算すると 0 のままです。

$$3n^{2}+10n-8=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に 10 を代入し、c に -8 を代入します。

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

10 を 2 乗します。

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -8 を乗算します。

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

100 を 96 に加算します。

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 の平方根をとります。

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{-10±14}{6} の解を求めます。 -10 を 14 に加算します。

$$n=\frac{4}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{4}{6} を約分します。

$$n=\frac{2}{3}$$

± が負の時の方程式 n=\frac{-10±14}{6} の解を求めます。 -10 から 14 を減算します。

$$n=-\frac{24}{6}$$

-24 を 6 で除算します。

$$n=-4$$

方程式が解けました。

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3n^{2}+10n=8$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

\frac{10}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{5}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{5}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

\frac{5}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{8}{3} を \frac{25}{9} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

因数n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

簡約化します。

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

方程式の両辺から \frac{5}{3} を減算します。

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$