3b^2-8b-15=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

b を解く

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3.936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1.270083225$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3b^{2}-8b-15=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -8 を代入し、c に -15 を代入します。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-8 を 2 乗します。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -15 を乗算します。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

64 を 180 に加算します。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

244 の平方根をとります。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-8 の反数は 8 です。

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

± が正の時の方程式 b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} の解を求めます。 8 を 2\sqrt{61} に加算します。

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

8+2\sqrt{61} を 6 で除算します。

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

± が負の時の方程式 b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} の解を求めます。 8 から 2\sqrt{61} を減算します。

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

8-2\sqrt{61} を 6 で除算します。

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

方程式が解けました。

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3b^{2}-8b-15=0$$

方程式の両辺に 15 を加算します。

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

それ自体から -15 を減算すると 0 のままです。

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

0 から -15 を減算します。

$$3b^{2}-8b=15$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

15 を 3 で除算します。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

-\frac{8}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{4}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{4}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

-\frac{4}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

5 を \frac{16}{9} に加算します。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

因数 b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

簡約化します。

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

方程式の両辺に \frac{4}{3} を加算します。

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$