3x^2-31x-60=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x を解く

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx-60 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -180 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

解は和が -31 になる組み合わせです。

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 を \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 5 をくくり出します。

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-12 を除外します。

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

方程式の解を求めるには、x-12=0 と 3x+5=0 を解きます。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3x^{2}-31x-60=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -31 を代入し、c に -60 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -60 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

961 を 720 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 の反数は 31 です。

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{31±41}{6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{31±41}{6} の解を求めます。 31 を 41 に加算します。

$$x=\frac{72}{6}$$

72 を 6 で除算します。

$$x=12$$

± が負の時の方程式 x=\frac{31±41}{6} の解を求めます。 31 から 41 を減算します。

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-10}{6} を約分します。

$$x=-\frac{5}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3x^{2}-31x-60=0$$

方程式の両辺に 60 を加算します。

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

それ自体から -60 を減算すると 0 のままです。

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

0 から -60 を減算します。

$$3x^{2}-31x=60$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 を 3 で除算します。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

-\frac{31}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{31}{6} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{31}{6} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

-\frac{31}{6} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

20 を \frac{961}{36} に加算します。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

因数x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

方程式の両辺に \frac{31}{6} を加算します。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$