3x^2+5x=138 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

x を解く

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 138 を減算します。

$$3x^{2}+5x-138=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx-138 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -414 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

解は和が 5 になる組み合わせです。

$$a=-18 b=23$$

3x^{2}+5x-138 を \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 23 をくくり出します。

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-6 を除外します。

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

方程式の解を求めるには、x-6=0 と 3x+23=0 を解きます。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3x^{2}+5x=138$$

方程式の両辺から 138 を減算します。

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

それ自体から 138 を減算すると 0 のままです。

$$3x^{2}+5x-138=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に 5 を代入し、c に -138 を代入します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5 を 2 乗します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -138 を乗算します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

25 を 1656 に加算します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 の平方根をとります。

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-5±41}{6} の解を求めます。 -5 を 41 に加算します。

$$x=\frac{36}{6}$$

36 を 6 で除算します。

$$x=6$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-5±41}{6} の解を求めます。 -5 から 41 を減算します。

$$x=-\frac{46}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-46}{6} を約分します。

$$x=-\frac{23}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3x^{2}+5x=138$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138 を 3 で除算します。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

\frac{5}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{5}{6} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{5}{6} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

46 を \frac{25}{36} に加算します。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

因数x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

方程式の両辺から \frac{5}{6} を減算します。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$