3x^2+11x+8=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 { x }^{ 2 } +11x+8=0$$

x を解く

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x=-1$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx+8 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=11 ab=3\times 8=24$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は正の値なので、a と b はどちらも正の値です。 積が 24 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

解は和が 11 になる組み合わせです。

$$a=3 b=8$$

3x^{2}+11x+8 を \left(3x^{2}+3x\right)+\left(8x+8\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}+3x\right)+\left(8x+8\right)$$

1 番目のグループの 3x と 2 番目のグループの 8 をくくり出します。

$$3x\left(x+1\right)+8\left(x+1\right)$$

分配特性を使用して一般項 x+1 を除外します。

$$\left(x+1\right)\left(3x+8\right)$$

方程式の解を求めるには、x+1=0 と 3x+8=0 を解きます。

$$x=-1 x=-\frac{8}{3}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3x^{2}+11x+8=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に 11 を代入し、c に 8 を代入します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

11 を 2 乗します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 8}}{2\times 3}$$

-12 と 8 を乗算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 3}$$

121 を -96 に加算します。

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

25 の平方根をとります。

$$x=\frac{-11±5}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-11±5}{6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-11±5}{6} の解を求めます。 -11 を 5 に加算します。

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6 を 6 で除算します。

$$x=-1$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-11±5}{6} の解を求めます。 -11 から 5 を減算します。

$$x=-\frac{16}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-16}{6} を約分します。

$$x=-\frac{8}{3}$$

方程式が解けました。

$$x=-1 x=-\frac{8}{3}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3x^{2}+11x+8=0$$

方程式の両辺から 8 を減算します。

$$3x^{2}+11x+8-8=-8$$

それ自体から 8 を減算すると 0 のままです。

$$3x^{2}+11x=-8$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{8}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{8}{3}$$

\frac{11}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{11}{6} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{11}{6} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

\frac{11}{6} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{8}{3}+\frac{121}{36}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{8}{3} を \frac{121}{36} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{25}{36}$$

因数x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{11}{6}=\frac{5}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{5}{6}$$

方程式の両辺から \frac{11}{6} を減算します。

$$x=-1 x=-\frac{8}{3}$$