256x^2-32x+1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

x を解く

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 256x^{2}+ax+bx+1 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 256 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

解は和が -32 になる組み合わせです。

$$a=-16 b=-16$$

256x^{2}-32x+1 を \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right) に書き換えます。

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

1 番目のグループの 16x と 2 番目のグループの -1 をくくり出します。

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

分配特性を使用して一般項 16x-1 を除外します。

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

2 項式の平方に書き換えます。

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

方程式の解を求めるには、16x-1=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{16}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$256x^{2}-32x+1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 256 を代入し、b に -32 を代入し、c に 1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

-32 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

-4 と 256 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

1024 を -1024 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

0 の平方根をとります。

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

-32 の反数は 32 です。

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

2 と 256 を乗算します。

$$x=\frac{32}{512}$$

32 を開いて消去して、分数 \frac{32}{512} を約分します。

$$x=\frac{1}{16}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$256x^{2}-32x+1=0$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$256x^{2}-32x=-1$$

両辺を 256 で除算します。

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

256 で除算すると、256 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

32 を開いて消去して、分数 \frac{-32}{256} を約分します。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

-\frac{1}{8} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{16} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{16} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

-\frac{1}{16} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{1}{256} を \frac{1}{256} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

因数 x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

方程式の両辺に \frac{1}{16} を加算します。

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

方程式が解けました。 解は同じです。

$$x=\frac{1}{16}$$