25x^2-40x+16=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

x を解く

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化して因数分解します。最初に、左側を 25x^{2}+ax+bx+16 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 400 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

解は和が -40 になる組み合わせです。

$$a=-20 b=-20$$

25x^{2}-40x+16 を \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right) に書き換えます。

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

1 番目のグループの 5x と 2 番目のグループの -4 をくくり出します。

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

分配特性を使用して一般項 5x-4 を除外します。

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

2 項式の平方に書き換えます。

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

方程式の解を求めるには、5x-4=0 を解きます。

$$x=\frac{4}{5}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$25x^{2}-40x+16=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 25 を代入し、b に -40 を代入し、c に 16 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-40 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

-4 と 25 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

-100 と 16 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

1600 を -1600 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

0 の平方根をとります。

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

-40 の反数は 40 です。

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

2 と 25 を乗算します。

$$x=\frac{40}{50}$$

10 を開いて消去して、分数 \frac{40}{50} を約分します。

$$x=\frac{4}{5}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$25x^{2}-40x+16=0$$

方程式の両辺から 16 を減算します。

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

それ自体から 16 を減算すると 0 のままです。

$$25x^{2}-40x=-16$$

両辺を 25 で除算します。

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

25 で除算すると、25 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

5 を開いて消去して、分数 \frac{-40}{25} を約分します。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

-\frac{8}{5} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{4}{5} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{4}{5} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

-\frac{4}{5} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

公分母を求めて分子を加算すると、-\frac{16}{25} を \frac{16}{25} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

因数 x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}。一般に、x^{2}+bx+c が完全平方である場合、常に \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} のように因数分解されます。

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

簡約化します。

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

方程式の両辺に \frac{4}{5} を加算します。

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

方程式が解けました。 解は同じです。

$$x=\frac{4}{5}$$