20x^2-x-1=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

x を解く

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 20x^{2}+ax+bx-1 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -20 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

解は和が -1 になる組み合わせです。

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1 を \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) に書き換えます。

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

5x の 20x^{2}-5x を除外します。

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

分配特性を使用して一般項 4x-1 を除外します。

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、4x-1=0 と 5x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$20x^{2}-x-1=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 20 を代入し、b に -1 を代入し、c に -1 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4 と 20 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80 と -1 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

1 を 80 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

81 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 の反数は 1 です。

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

2 と 20 を乗算します。

$$x=\frac{1±9}{40}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{1±9}{40} の解を求めます。 1 を 9 に加算します。

$$x=\frac{10}{40}$$

10 を開いて消去して、分数 \frac{10}{40} を約分します。

$$x=\frac{1}{4}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{1±9}{40} の解を求めます。 1 から 9 を減算します。

$$x=-\frac{8}{40}$$

8 を開いて消去して、分数 \frac{-8}{40} を約分します。

$$x=-\frac{1}{5}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$20x^{2}-x-1=0$$

方程式の両辺に 1 を加算します。

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

それ自体から -1 を減算すると 0 のままです。

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0 から -1 を減算します。

$$20x^{2}-x=1$$

両辺を 20 で除算します。

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20 で除算すると、20 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

-\frac{1}{20} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{1}{40} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{1}{40} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

-\frac{1}{40} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1}{20} を \frac{1}{1600} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

因数x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

簡約化します。

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

方程式の両辺に \frac{1}{40} を加算します。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$